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如圖，已知三棱柱ABC—A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱A1A與AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F.

(1)求證：平面A1EF⊥平面B1BCC1；

(2)求直線AA1到平面B1BCC1的距離；

(3)當AA1多長時，點A1到平面ABC與平面B1BCC1的距離相等?

解：(1)證明：CC1∥BB1，又BB1⊥A1E，∴CC1⊥A1E.而CC1⊥A1F，

∴CC1⊥平面A1EF，∴平面A1EF⊥平面B1BCC1.

(2)作A1H⊥EF于H，則A1H⊥面B1BCC1，∴A1H為A1到面B1BCC1的距離.在△A1EF中，A1E＝A1F＝2，EF＝2，∴△A1EF為等腰直角三角形且EF為斜邊，∴A1H為斜邊上中線，可得A1H＝EF＝1.

(3)作A1G⊥面ABC于G，連結(jié)AG，則A1G就是A1到面ABC的距離，且AG是∠BAC的角平分線，A1G＝1.

∵cos∠A1AG＝.∴sin∠A1AG＝.∴A1A＝

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC=2，AA1=4，AB=2
2
，M，N分別是棱CC1，AB中點．
（Ⅰ）求證：CN⊥平面ABB1A1；
（Ⅱ）求證：CN∥平面AMB1；
（Ⅲ）求三棱錐B1-AMN的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，且AB⊥AC，M是CC1的中點，N是BC的中點，點P在直線A1B1上，且滿足
A1P
=λ
A1B1
．
（1）證明：PN⊥AM；
（2）當λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求該角最大值的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC1，BC的中點，點P在直線A1B1上，且
A1P
=λ
A1B1
；
（Ⅰ）證明：無論λ取何值，總有AM⊥PN；
（Ⅱ）當λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求該角取最大值時的正切值；
（Ⅲ）是否存在點P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30°，若存在，試確定點P的位置，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為2，且A1A⊥底面ABC，D為AB的中點，G為△ABC1的重心，則|
CG
|的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC，∠ABC=90°，D為AC中點．
（1）求證：BD⊥AC1；
（2）若AB=
2
，AA1=2
3
，求AC1與平面ABC所成的角．

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