Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，∠ABD=∠CBD=60°．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）若四棱錐P-ABCD的體積是$4\sqrt{3}$，∠BCD=90°，求點C到平面PBD的距離．

Answer 1

分析 （1）證明BD⊥AC，BD⊥PA，利用直線與平面垂直的判定定理證明BD⊥面PAC．
（2）通過幾何體的體積求出PA，說明C到面PBD的距離等于A到面PBD的距離，作AH⊥OP于H，A到面PBD的距離即AH，在△OPA中，求解即可．

解答 解：（1）證明：在△ABC中，
因為AB=BC=2，∠ABD=∠CBD=60°
∴BO⊥AC，OC=OA（等腰三角形三線合一）------------3分
又∵PA⊥平面ABCD∴BD⊥PA．
∵PA與AC交于C∴BD⊥面PAC------6分
（2）因為AB=BC=2，∠ABD=∠CBD=60°，∠BCD=90°
∴$BD=4，AC=2\sqrt{3}$∴${S_{ABCD}}=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$
∴${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}×{S_{ABCD}}×PA=\frac{1}{3}×4\sqrt{3}×PA=4\sqrt{3}$
∴PA=3----------------------8分
∵OC=OA，故C到面PBD的距離等于A到面PBD的距離，
作AH⊥OP于H，A到面PBD的距離即AH，
在△OPA中，$PA•OA=OP•AH\;\;，3×\sqrt{3}=2\sqrt{3}×AH$
∴$AH=\frac{3}{2}$
故C到面PBD的距離等于$\frac{3}{2}$．--------------------12分．

點評 本題考查幾何體的體積的應用，直線與平面垂直的判定定理的應用，點線面距離的求法，轉化思想的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．