Question

7．過(guò)雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1右焦點(diǎn)F作一直線（不平行于坐標(biāo)軸）交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足條件$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{0}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則k_AB•k_OM的值為（　　）

• A． $\frac{5}{4}$
• B． -$\frac{5}{4}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． -$\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 求得雙曲線的a，b，c，可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)過(guò)F的直線為y=k（x-3），代入雙曲線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得M的坐標(biāo)，再由直線的斜率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的a=2，b=$\sqrt{5}$，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=3，即有F（3，0），
設(shè)過(guò)F的直線為y=k（x-3），
代入雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，可得
5x²-4k²（x-3）²=20，
即為（5-4k²）x²+24k²x-36k²-20=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=-$\frac{24{k}^{2}}{5-4{k}^{2}}$，
點(diǎn)M滿足條件$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{0}$，可得M為AB的中點(diǎn)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M（-$\frac{12{k}^{2}}{5-4{k}^{2}}$，-$\frac{15k}{5-4{k}^{2}}$），
則k_AB•k_OM=k•$\frac{-15k}{-12{k}^{2}}$=k•$\frac{5}{4k}$=$\frac{5}{4}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，注意聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查直線的斜率公式的運(yùn)用，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．