Question

如圖，四棱錐S—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，SD垂直于底面ABCD ，SB=.

（1）求證：BC⊥SC；

（2）求面SAD與面SBC所成二面角的大小；

（3）設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線DM與SB所成角的大小.

Answer 1

解析：第（1）題要證BC⊥SC，只需證明BC⊥CD即可，由已知條件和三垂線定理可以證明BC⊥SC，當(dāng)然也可以直接利用線面垂直來證BC⊥SC.對(duì)于第（2）題的解題策略是先找出兩面的交線.然后直覺預(yù)見∠CSD是二面角的平面角，最后再計(jì)算；另外一種思路就是利用△SBC在面SAD上的射影是△SAD，再用cosθ=求出θ的值就是二面角的大小.對(duì)于第（3）題是求異面直線所成的角.平移SB且過M點(diǎn)既可轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的角求解,還可以直接利用三垂線定理證明SB⊥MD，于是也就求出MD與SB所成的角.?

（1）證法一：∵底面ABCD是正方形，?

∴BC⊥DC.?

?  ∵SD⊥底面ABCD，?

∴DC是SC在平面ABCD上的射影，由三垂線定理得BC⊥SC.?

證法二：∵底面ABCD是正方形，?

∴BC⊥DC.?

∵SD⊥底面ABCD，?

∴SD⊥BC.?

又DC∩SD=D，∴BC⊥平面SDC.?

∴BC⊥SC.?

（2）解法一：∵S是面SAD與面SBC的公共點(diǎn)，?

∴設(shè)面SAD∩面SBC=l.?

∵ABCD是正方形，∴AD∥BC.?

∴BC∥面SAD.?

又BC面SBC，∴BC∥l.?

∴BC∥l∥AD.?

又∵SD⊥面ABCD，?

∴SD⊥AD,即SD⊥l.?

又由（1）知BC⊥SC，?

∴SC⊥l.?

∴∠CSD是二面角C-l-A的平面角.?

在Rt△SCB中，由勾股定理得.?

在Rt△SCD中，sin∠CSD=CDSC=,?

∴∠CSD=45°,即面ASD與面BSC所成的二面角為45°.?

解法二：∵SD⊥面ABCD，?

∴SD⊥CD.?

又∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD.?

而AD∩SD=D，∴CD⊥面SAD.?

又由ABCD是正方形可知，CD∥AB，?

∴AB⊥面SAD.?

∴△SBC在側(cè)面SAD上的射影是△SAD.?

設(shè)面ASD與面BSC所成的二面角大小為θ,?

∴cosθ=.又由（1）知，在Rt△SBC中，SB=，BC=1，∴SC=.

在Rt△SCD中，SD=1，?

∴,.??

∴cosθ=.?

∴θ=45°,即面ASD與面BSC所成的二面角為45°.?

（3）解法一：（平移法）取AB中點(diǎn)P，連結(jié)MP、DP.在△ABS中，由中位線定理得MP∥SB，∴∠DMP是異面直線DM與SB所成的角.?

∵，又， .

∴在△DMP中，有DP²=MP²+DM².?

∴∠DMP=90°.?

∴異面直線DM與SB所成的角為90°.?

解法二：（三垂線定理法）∵SD=AD=1，∠SDA=90°,?

∴△SDA是等腰直角三角形.?

又∵M是斜邊SA的中點(diǎn)，?

?∴DM⊥SA.?

∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，?

∴BA⊥面ASD.?

∴SA是SB在面SAD上的射影.?

由三垂線定理知DM⊥SB.?

∴異面直線DM與SB所成的角為90°.