Question

已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸的負半軸上，過其上一點P(x₀，y₀)(x₀≠0)的切線方程為y-y₀=2ax₀(x-x₀)(a為常數(shù))

(I)求拋物線方程；

(Ⅱ)斜率為k₁的直線PA與拋物線的另一交點為A，斜率為k₂的直線PB與拋物線的另一交點為B(A、B兩點不同)，且滿足k₂+k₁=0(≠0，≠-1)，若，求證線段PM的中點在y軸上；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，當=1，k₁<0時，若P的坐標為(1，-1)，求為鈍角時點A的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可設(shè)拋物線的方程為

        X²=-2py(p>0)

       ∵過點p(x₀，y₀)(x₀≠0) 的切線方程為y-y₀=2ax₀(x-x₀)

       ∴y′=

      ∴

      ∴ 拋物線的方程為 y=ax²(a<0)

（Ⅱ）直線PA的方程為 y-y₀=k₁(x-x₀)²

          ∴

     ∴ ax²-k₁x+ k₁x₀-y₀=0  ∴

     同理可得   

     ∵ k₂+k₁=0

     ∴ k₂=-k₁    

           又

    ∴     

    ∴線段PM的中點在y軸上

 （Ⅲ）由

     ∴ A（-K₁-1，-（k₁+1）²）,B(k₁-1, -（k₁-1）²)

     ∴  

     ∵ ∠PAB為鈍角，且P、A、B互不相同

     ∴

      即

    ∴

∵k₁<0

∴

∴ k₁<-2或

又∵點A的縱坐標y_A=-(k₁+1)²

 ∴當k₁<-2時，y_A<-1

當時，

∴∠PAB為鈍角時點A的縱坐標的取值范圍為（-∞，-1）∪（-1，）