Question

已知直線y=﹣x+1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段AB的長(zhǎng)；
（2）若向量與向量互相垂直（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)橢圓的離心率時(shí)，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

解：（1）∵，2c=2，
∴a=，b=，
∴橢圓的方程為．
聯(lián)立，消去y得：5x²﹣6x﹣3=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，，
∴|AB|==
=．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵，∴，即x₁x₂+y₁y₂=0，
由，消去y得（a²+b²）x²﹣2a²x+a²（1﹣b²）=0，
由△=（﹣2a²）²﹣4a²（a²+b²）（1﹣b²）＞0，整理得a²+b²＞1
∵，，
∴y₁y₂=（﹣x₁+1）（﹣x₂+1）=x₁x₂﹣（x₁+x₂）+1，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，得：2x₁x₂﹣（x₁+x₂）+1=0，
∴，
整理得：a²+b²﹣2a²b²=0．
∴b²=a²﹣c²=a²﹣a²e²，代入上式得
2a²=1+，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴適合條件a²+b²＞1．
由此得，
∴，
故長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值為．