Question

（本小題滿分12分）已知函數，為自然對數的底數．

（1）過點的切線斜率為，求實數的值；

（2）當時，求證：；

（3）在區(qū)間上恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）求函數的導數，根據導數的幾何意義即可求實數的值；

（2）分析題意可知，問題等價于證明，因此構造函數，利用導數判斷其單調性，通過求其最值即可證明；

（3）將條件中的不等式參變分離，得，從而問題就等價于研究函數在區(qū)間上的取值情況，利用導數判斷其單調性即可求解．

試題解析：（1），，； 2分

（2）令，， 4分

令，即，解得，∴在上遞減，在上遞增，

∴最小值為，∴， 6分；

（3）由題意可知，化簡得，， 8分 令，則，， 9分

由（2）知，在時，，∴，即在上單調遞增，

∴， 11分 ∴． 12分

考點：1．利用導數研究曲線上某點切線方程；2．利用導數求函數的最值；3．恒成立問題．

考點分析： 考點1：導數在研究函數中的應用 考點2：函數的單調性與導數 考點3：函數的極值與導數 考點4：函數的最值與導數 試題屬性

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