Question

某人在一山坡P處觀看對面山頂上的一座鐵塔,如圖所示,塔高BC=80(米),塔所在的山高OB=220(米),OA=200(米),圖中所示的山坡可視為直線l且點P在直線l上,l與水平地面的夾角為α,tanα=.試問,此人距水平地面多高時,觀看塔的視角∠BPC最大?(不計此人的身高)

Answer 1

解：如下圖所示,建立平面直角坐標系,則A(200,0)、B(0,220)、C(0,300).

    直線l的方程為y=(x-200)tanα,則y=.

    設(shè)點P的坐標為(x,y),則P(x,)(x＞200).

    由經(jīng)過兩點的直線的斜率公式

k_PC==,

k_PB==.

    由直線PC到直線PB的角的公式得tan∠BPC==

=(x＞200).

    要使tan∠BPC達到最大,只需x+-288達到最小,由均值不等式

x+-288≥2-288.

    當(dāng)且僅當(dāng)x=時上式取得等號.故當(dāng)x=320時,tan∠BPC最大.這時,點P的縱坐標y為y==60.

    由此實際問題知,0＜∠BPC＜,所以tan∠BPC最大時,∠BPC最大.

    故當(dāng)此人距水平地面60米高時,觀看鐵塔的視角∠BPC最大.