Question

拋物線y²=2px（p＞0）的一條弦AB過焦點F，且|AF|=1，|BF|=2，則拋物線方程為

 

．

Answer 1

分析：首先由拋物線y²=2px（p＞0）的一條弦AB過焦點F，且|AF|=1，|BF|=2，可把點A，B的坐標設出來，然后應用圓錐曲線的焦半徑公式把|AF|+|BF和|AF|•|BF|用x₁，x₂表示出來，然后解出p的值即可得到拋物線方程．

解答：解：由拋物線y²=2px的一條弦AB過焦點F，可設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則|AF|=x1+

p

2

，|BF|=x2+

p

2

，則|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=3，
∴x₁+x₂=3-p，而x1•x2=

p2

4

．
由|AF|•|BF|=x1•x2+

p

2

(x1+x2)+

p2

4

=2．
得

p2

2

+

p

2

•(3-p)=2，即

3p

2

=2，
∴p=

4

3

，拋物線方程為y2=

8

3

x．
故答案為y2=

8

3

x．

點評：此題主要考查拋物線標準方程的求法，其中涉及到圓錐曲線的焦半徑公式的應用，在高考中屬于重點的考點，且有一定的難度希望同學們注意．