Question

15．設(shè)函數(shù)y=f（x）（x∈R）為偶函數(shù)，且?x∈R，滿足f（x-$\frac{3}{2}$）=f（x+$\frac{1}{2}$），當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=x，則當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=（　�。�

• A． |x+4|
• B． |2-x|
• C． 2+|x+1|
• D． 3-|x+1|

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性條件推出函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)根據(jù)函數(shù)周期性和對(duì)稱性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵?x∈R，滿足f（x-$\frac{3}{2}$）=f（x+$\frac{1}{2}$），
∴?x∈R，滿足f（x+$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$）=f（x+$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$），
即f（x）=f（x+2），
若x∈[0，1]時(shí)，則x+2∈[2，3]，
f（x）=f（x+2）=x+2，x∈[0，1]，
若x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，
∵函數(shù)y=f（x）（x∈R）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=-x+2=f（x），
即f（x）=-x+2，x∈[-1，0]，
若x∈[-2，-1]，則x+2∈[0，1]，
則f（x）=f（x+2）=x+2+2=x+4，x∈[-2，-1]，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+4，}&{-2≤x＜-1}\\{-x+2，}&{-1≤x≤0}\end{array}\right.$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．