Question

7．已知橢圓E：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A，F(xiàn)分別是橢圓E的左頂點(diǎn)，上焦點(diǎn)，直線AF的斜率為$\sqrt{3}$，直線l：y=kx+m與y軸交于異于原點(diǎn)的點(diǎn)P，與橢圓E交于M，N兩個(gè)相異點(diǎn)，且$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{PN}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)m，使$\overrightarrow{OM}$+λ$\overrightarrow{ON}$=4$\overrightarrow{OP}$？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓的離心率以及直線AF的斜率為$\sqrt{3}$，列出方程組求解a，b，即可的橢圓方程．
（Ⅱ）求出P（0，m），由$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{PN}$，得$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM}=λ（\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OP}）$，轉(zhuǎn)化求解λ，設(shè)M（x₁，kx₁+m），N（x₂，kx₂+m），聯(lián)立直線與橢圓方程，利用判別式以及韋達(dá)定理得到k，m的不等式，通過(guò)向量關(guān)系求出k²=$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$．然后求解m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{c}=\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，…（3分）
解得a=2，b=1．
∴橢圓E的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1．…（5分）
（Ⅱ）根據(jù)已知得P（0，m），由$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{PN}$，得$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM}=λ（\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OP}）$
∴$\overrightarrow{OM}+λ\overrightarrow{ON}=（1+λ）\overrightarrow{OP}$．
∵$\overrightarrow{OM}+λ\overrightarrow{ON}=4\overrightarrow{OP}$，∴（1+λ）$\overrightarrow{OP}$=$4\overrightarrow{OP}$．
∴1+λ=4，解得λ=3．…（7分）
設(shè)M（x₁，kx₁+m），N（x₂，kx₂+m），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{4{x}^{2}+{y}^{2}-4=0}\end{array}\right.$，得（k²+4）x²+2mkx+m²-4=0（※）
由已知得△=4m²k²-4（k²+4）（m²-4）＞0，即
k²-m²+4＞0，
且x₁+x₂=$\frac{-2km}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$．…（9分）
由$\overrightarrow{MP}=3\overrightarrow{PN}$，得-x₁=3x₂，即（x₁+x₂）+2x₂=0．
∴x₂=$\frac{km}{{k}^{2}+m}$．代入（※）式中整理得m²k²+m²-k²-4=0．…（10分）
當(dāng)m²=1時(shí)，m²k²+m²-k²-4=0不成立．
∴k²=$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$．
∵k²-m²+4＞0，
∴$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$-m²+4＞0，即$\frac{（4-{m}^{2}）{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$＞0．
∴1＜m²＜4，解得-2＜m＜-1或1＜m＜2．
綜上所述，當(dāng)-2＜m＜-1，或1＜m＜2時(shí)，$\overrightarrow{OM}+λ\overrightarrow{ON}=4\overrightarrow{OP}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，有關(guān)范圍的問(wèn)題的解決方法，考查橢圓的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．