Question

19．在平面直角坐標系中，i，j分別是與x，y軸正方向同向的單位向量，平面內三點A、B、C滿足，$\overrightarrow{AB}$=4$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{AC}$=k$\overrightarrow{i}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{j}$當A、B、C三點構成直角三角形時，實數(shù)k的可能值的個數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用已知可得$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，利用向量垂直與數(shù)量積的關系即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$=$（k，-\frac{1}{2}）$-（4，3）=$（k-4，-\frac{7}{2}）$，
當AB⊥BC時，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=4（k-4）-$\frac{7}{2}$×3=0，解得k=$\frac{53}{8}$．
當AB⊥AC時，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$4k-\frac{3}{2}$=0，解得k=$\frac{3}{8}$．
當AC⊥BC時，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=$k（k-4）-\frac{7}{2}×（-\frac{1}{2}）$=0，化為4k²-16k+7=0，解得k=$\frac{7}{2}$或$\frac{1}{2}$．
綜上可得：當A、B、C三點構成直角三角形時，實數(shù)k的可能值的個數(shù)為4．
故選：D．

點評 本題考查了向量的坐標運算、向量垂直與數(shù)量積的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．