Question

有人玩擲硬幣走跳棋的游戲,已知硬幣出現(xiàn)正反面的概率都是,棋盤上標(biāo)有第0站,第1站,…,第100站.一枚棋子開始在第0站,棋手每擲一次硬幣,棋子向前跳動一次,若擲出正面,棋子向前跳一站(從第k站到第k+1站),若擲出反面,棋子向前跳兩站(從第k站到第k+2站),直到棋子跳到第99站(勝利大本營)或跳到第100站(失敗集中營)時,該游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站的概率為P_n.

(1)求P₀,P₁,P₂的值;

(2)求證:P_n-P_n-1=-(P _n-1-P_n-2),其中n∈N,2≤n≤99；

(3)求P₉₉及P₁₀₀的值.

Answer 1

(1)解:∵棋子開始站在第0站,屬必然事件,

∴P₀=1.硬幣出現(xiàn)正面(P=),棋子向前跳一站,

∴P₁=.

棋子在第二站有兩種情況:

第一種情況硬幣出現(xiàn)反面,跳兩步到第二站,P=;

第二種情況向前跳兩次,P=·=.

∴P₂=.

(2)證明:棋子跳到第n站有兩種情況:

①棋子在第n-1站后,再擲出一個正面到第n站,即P_n-1;

②棋子在第n-2站后,再擲出一個反面到第n站,即P_n-2.P_n=P _n-1+P _n-2,

∴P_n-P _n-1=-(P _n-1-P _n-2).

(3)解:{P_n-P _n-1}構(gòu)成以P₁-P₀為首項,-為公比的等比數(shù)列,

∴P_n-P _n-1=(-)ⁿ.

∴P _n-1-P _n-2=(-)^n-1.

……

P₁-P₀=-·

將上列各式左右兩邊分別相加,得

P_n-P₀=(-)+(-)²+…+(-)ⁿ=.

∴P_n=1-·(-)ⁿ,

P₉₉=-·,P₉₈=+·.

若跳到99站,則已勝利,不再往前跳,

∴只有從98站跳兩站到100站,P₁₀₀=+·.