Question

已知△ABC中，BC=2，∠A=

π

3

，則|

AB

+

AC

|的最大值（　　）

• A、

  21

  3

• B、

  2 21

  3

• C、2

  3

• D、4

  3

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：先由正弦定理可得，

b

sinB

=

c

sinC

=

2

sin60°

=

4 3

3

可表示b，c，然后對(duì)已知所求式子平方，結(jié)合向量數(shù)量積的定義、二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求最大值

解答： 解：∵BC=2，∠A=

π

3

由正弦定理可得，

b

sinB

=

c

sinC

=

2

sin60°

=

4 3

3

∴b=

4 3 sinB

3

，c=

4 3 sinC

3

=

4 3 sin(120°-B)

3

∵|

AB

+

AC

|2=

AB

2+

AC

2+2

AB

•

AC

=

16sin2(120°-B)

3

+

16sin2B

3

+

16sinBsin(120°-B)

3

=

16

3

[

1-cos2B+1-cos(240°-2B)

2

+

3 sinBcosB+sin2B

2

]
=

16

3

（1-

1

2

cos2B+

1

4

cos2B+

3

4

sin2B+

3

4

sin2B+

1-cos2B

4

）
=

16( 5 4 + 3 sin2B 2 - cos2B 2 )

3

=

20

3

+

16

3

sin(2B-30°)
當(dāng)2B-30°=90°即B=60°時(shí)取得最大值12
則|

AB

+

AC

|的最大值為2

3

故選C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量數(shù)量積的定義、二倍角公式、輔助角公式的綜合應(yīng)用，熟練掌握基本公式是求解問(wèn)題的關(guān)鍵