Question

過拋物線x²=4y的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，拋物線分別在A、B兩點(diǎn)處的切線交于Q點(diǎn)，則點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是    ．

Answer 1

【答案】分析：先求出拋物線x²=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得過拋物線x²=4y的焦點(diǎn)的直線方程，將所得方程與拋物線x²=4y聯(lián)解，消去y得：x²-4kx-4=0，根據(jù)韋達(dá)定理得x₁x₂=-4．再用函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法，得拋物線過A點(diǎn)的切線方程為y-y₁=x₁（x-x₁），化簡(jiǎn)得y=x₁x-x₁²，同理得到在點(diǎn)B處切線方程為y=x₂x-x₂²，兩方程消去x，得兩切線交點(diǎn)Q縱坐標(biāo)滿足y_Q=，可得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是-1．
解答：解：∵拋物線x²=4y的焦點(diǎn)為F（0，1）
∴設(shè)過拋物線x²=4y的焦點(diǎn)的直線為y=kx+1．
設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，消去y得：x²-4kx-4=0，根據(jù)韋達(dá)定理，得x₁x₂=-4，
拋物線x²=4y，即二次函數(shù)y=x²，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得y'=x，
所以拋物線在點(diǎn)A處的切線斜率為k₁=x₁，
可得切線方程為y-y₁=x₁（x-x₁），化簡(jiǎn)得y=x₁x-x₁²，
同理，得到拋物線在點(diǎn)B處切線方程為y=x₂x-x₂²，兩方程消去x，
得兩切線交點(diǎn)Q縱坐標(biāo)滿足y_Q=
∵x₁x₂=-4，
∴y_Q=-1，即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是-1．
故答案為：-1
點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線過焦點(diǎn)的弦，分別在兩個(gè)端點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)Q，求Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)，考查了拋物線的基本概念和直線與拋物線的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．