Question

6．x，y，z∈R，則（$\frac{{x}^{2}-2xy-4xz+8yz}{{y}^{2}-4yz+4{z}^{2}}$）_min=-1．

Answer 1

分析 對(duì)分子進(jìn)行因式分解，x²-2xy-4xz+8yz=（x-2y）（x-4z）=-（2y-x）（x-4z），根據(jù)（a+b）²≥4ab便可得出-（2y-x）（x-4z）≥-（y-2z）²，而分母y²-4yz+4z²=（y-2z）²＞0，這樣便可得出$\frac{{x}^{2}-2xy-4xz+8yz}{{y}^{2}-4yz+4{z}^{2}}≥-1$，從而得出最小值為-1．

解答 解：x²-2xy-4xz+8yz=x（x-2y）-4z（x-2y）=（x-2y）（x-4z）=-（2y-x）（x-4z）；
∵$（2y-x）（x-4z）≤\frac{（2y-x+x-4z）^{2}}{4}$=（y-2z）²；
∴-（2y-x）（x-4z）≥-（y-2z）²；
∴x²-2xy-4xz+8yz≥-（y-2z）²=-（y²-4yz+4z²）；
∴$\frac{{x}^{2}-2xy-4xz+8yz}{{y}^{2}-4yz+4{z}^{2}}≥-1$；
∴$（\frac{{x}^{2}-2xy-4xz+8yz}{{y}^{2}-4yz+4{z}^{2}}）_{min}=-1$．
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的能力，對(duì)于本題的求最小值，可以想著讓分子出現(xiàn)和分母相同的項(xiàng)，從而進(jìn)行約分得到常數(shù)，由不等式a²+b²≥2ab能得到（a+b）²≥4ab．