Question

10．已知函數(shù)f（x）=ax²+1，g（x）=x³+bx，其中a＞0，b＞0．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)P（2，m）處有相同的切線（P為切點(diǎn)），求a，b的值；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）+g（x），若函數(shù)h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[-$\frac{a}{2}$，-$\frac{\sqrt}{3}$]，
（1）求函數(shù)h（x）在區(qū)間（-∞，-1]上的最大值t（a）；
（2）若|h（x）|≤3在x∈[-2，0]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)（2，m）處具有公共切線，可知切點(diǎn)處的函數(shù)值相等，切點(diǎn)處的斜率相等，故可求a、b的值；
（Ⅱ）（1）根據(jù)函數(shù)h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[-$\frac{a}{2}$，-$\frac{\sqrt}{3}$]得出a²=4b，構(gòu)建函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）=x³+ax²+$\frac{1}{4}$a²x+1，求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而分類討論，確定函數(shù)在區(qū)間（-∞，-1]上的最大值．
（2）由（1）知，函數(shù)h（x）在（-∞，-$\frac{a}{2}$）單調(diào)遞增，在（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{6}$）單調(diào)遞減，在（-$\frac{a}{6}$，+∞）上單調(diào)遞增，從而得出其極大值、極小值，再根據(jù)|h（x）|≤3，在x∈[-2，0]上恒成立，建立關(guān)于a的不等關(guān)系，解得a的取值范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=ax²+1（a＞0），則f′（x）=2ax，k₁=4a，g（x）=x³+bx，則f′（x）=3x²+b，k₂=12+b，
由（2，m）為公共切點(diǎn)，可得：4a=12+b，
又f（2）=4a+1，g（2）=8+2b，
∴4a+1=8+2b，與4a=12+b聯(lián)立可得：a=$\frac{17}{4}$，b=5．
（Ⅱ）由h（x）=f（x）+g（x）=x³+ax²+bx+1，
則h′（x）=3x²+2ax+b，
∵函數(shù)h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[-$\frac{a}{2}$，-$\frac{\sqrt}{3}$]，∴當(dāng)x∈[-$\frac{a}{2}$，-$\frac{\sqrt}{3}$]時，3x²+2ax+b≤0恒成立，
此時，x=-$\frac{\sqrt}{3}$是方程3x²+2ax+b=0的一個根，得3（$-\frac{\sqrt}{3}$）²+2a（-$\frac{\sqrt}{3}$）+b=0，得a²=4b，
∴h（x）=x³+ax²+$\frac{1}{4}$a²x+1
令h′（x）=0，解得：x₁=-$\frac{a}{2}$，x₂=-$\frac{a}{6}$；
∵a＞0，∴-$\frac{a}{2}$＜-$\frac{a}{6}$，列表如下：

x	（-∞，-$\frac{a}{2}$）	-$\frac{a}{2}$	（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{6}$）	-$\frac{a}{6}$	（-$\frac{a}{6}$，+∞）
h′（x）	+		-		+
h（x）		極大值		極小值

∴原函數(shù)在（-∞，-$\frac{a}{2}$）單調(diào)遞增，在（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{6}$）單調(diào)遞減，在（-$\frac{a}{6}$，+∞）上單調(diào)遞增．
①若-1≤-$\frac{a}{2}$，即a≤2時，最大值為t（-1）=a-$\frac{{a}^{2}}{4}$；
②若-$\frac{a}{2}$＜-1＜-$\frac{a}{6}$，即2＜a＜6時，最大值為t（-$\frac{a}{2}$）=1
③若-1≥-$\frac{a}{6}$時，即a≥6時，最大值為t（-$\frac{a}{2}$）=1．
綜上所述：當(dāng)a∈（0，2]時，最大值為t（-1）=a-$\frac{{a}^{2}}{4}$；
當(dāng)a∈（2，+∞）時，最大值為t（-$\frac{a}{2}$）=1．
（2）由（1）知，函數(shù)h（x）在（-∞，-$\frac{a}{2}$）單調(diào)遞增，在（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{6}$）單調(diào)遞減，在（-$\frac{a}{6}$，+∞）上單調(diào)遞增，
故h（-$\frac{a}{2}$）為極大值，h（-$\frac{a}{2}$）=1；h（-$\frac{a}{6}$）為極小值，h（-$\frac{a}{6}$）=-$\frac{{a}^{3}}{54}$+1；
∵|h（x）|≤3，在x∈[-2，0]上恒成立，又h（0）=1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{h（-2）≥-3}\\{h（-\frac{a}{6}）≥-3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{a}^{2}+4a-7≥-3}\\{-\frac{{a}^{3}}{54}+1≥-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{4-2\sqrt{2}≤a≤4+2\sqrt{2}}\\{a≤6}\end{array}\right.$，
∴a的取值范圍：4-2$\sqrt{2}$≤a≤6．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題的關(guān)鍵是正確求出導(dǎo)函數(shù)和應(yīng)用分類討論的方法，屬難題．