Question

（2011•重慶二模）如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F(-2

3

，0)，上下頂點(diǎn)分別為A，B，已知△AFB是等邊三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F作傾斜角為α的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，求證：|MN|=

8

4-3cos2α

．

Answer 1

分析：（I）利用左焦點(diǎn)為F(-2

3

，0)，上下頂點(diǎn)分別為A，B，△AFB是等邊三角形，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）分類(lèi)討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，計(jì)算|MN|，即可得到結(jié)論．

解答：（I）解：由題意，c=2

3

，

3

b=c，∴b=2
∴a=

b2+c2

=4
∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

14

=1；
（Ⅱ）證明：當(dāng)α≠

π

2

時(shí)，設(shè)k=tanα，l：y=k(x+2

3

)
代入

x2

16

+

y2

14

=1，可得（1+4k²）x²+16

3

k2x+48k²-16=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

16 3 k2

1+4k2

，x₁x₂=

48k2-16

1+4k2

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

8 1+k2

1+4k2

∴|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

8(1+k2)

1+4k2

=

8(1+tan2α)

1+4tan2α

=

8

4-3cos2α

當(dāng)α=

π

2

時(shí)，|MN|=2，

8

4-3cos2α

=2，∴|MN|=

8

4-3cos2α

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，屬于中檔題．