Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+4滿足f（1+x）=f（1-x），且函數(shù)g（x）=a^x（a＞0且a≠1）與函數(shù)y=log₃x互為反函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x），g（x）的解析式；
（2）函數(shù)y=f（g（x））-m在x∈[-1，2]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由于函數(shù)f（x）=x²+bx+4滿足f（1+x）=f（1-x），可得$-\frac{2}$=1，解得b可得f（x）．由于函數(shù)g（x）=a^x（a＞0且a≠1）與函數(shù)y=log₃x互為反函數(shù)，可得a=3，即可得出g（x）．
（2）函數(shù)y=f（3^x）-m=（3^x）²-2•3^x+4-m，令3^x=t，由于x∈[-1，2]，可得$t∈[\frac{1}{3}，9]$．則h（t）=t²-2t+4-m=（t-1）²+3-m．由于h（t）在$t∈[\frac{1}{3}，9]$有零點(diǎn)．可得$\left\{\begin{array}{l}{3-m≤0}\\{h（9）=67-m≥0}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+bx+4滿足f（1+x）=f（1-x），∴$-\frac{2}$=1，解得b=-2，∴f（x）=x²-2x+4．
∵函數(shù)g（x）=a^x（a＞0且a≠1）與函數(shù)y=log₃x互為反函數(shù)，∴a=3，∴g（x）=3^x．
（2）函數(shù)y=f（g（x））-m=f（3^x）-m=（3^x）²-2•3^x+4-m，
令3^x=t，∵x∈[-1，2]，∴$t∈[\frac{1}{3}，9]$．
則h（t）=t²-2t+4-m=（t-1）²+3-m，
∵h(yuǎn)（t）在$t∈[\frac{1}{3}，9]$有零點(diǎn)．
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-m≤0}\\{h（9）=67-m≥0}\end{array}\right.$，
解得3≤m≤67．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[3，67]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、換元法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．