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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

3．若不等式3sin²x-cos²x+4cosx+a≥-4對一切x都成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

A．

（1，+∞）

B．

（-1，+∞）

C．

[1，+∞）

D．

[-1，+∞）

分析問題轉(zhuǎn)化為不等式a≥-3sin²x+cos²x-4cosx-4對一切x都成立，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答解：∵不等式3sin²x-cos²x+4cosx+a≥-4對一切x都成立，
∴不等式a≥-3sin²x+cos²x-4cosx-4對一切x都成立，
故只需求函數(shù)y=-3sin²x+cos²x-4cosx-4的最大值即可，
變形可得y=-3（1-cos²x）+cos²x-4cosx-4
=4cos²x-4cosx-7=（2cosx-1）²-8，
由cosx∈[-1，1]和二次函數(shù)可得當(dāng)cosx=-1時，
y取最大值1，故a≥1，
故選：C．

點評本題考查三角函數(shù)的最值，涉及恒成立和二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬基礎(chǔ)題．

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