Question

在△ABC中，已知AB=2，BC=1，，分別在邊AB、BC、CA上取點D、E、F，使得△DEF為正三角形．設(shè)∠FEC=a，問sinα取何值時，△DEF的邊長最短，并求此最短邊長．

Answer 1

答案：略
解析：

如圖所示，∵AB=2，BC=1，， ∴， ∴∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°， ∵∠FEC=α， ∴∠EFC=90°－α， 又∵△DEF等邊三角形，∠DFE=60°， ∴∠AFD=180°－60°－(90°－α)=30°＋α． ∵∠A=30°， ∴∠ADF=180°－30°－(30°＋α)=120°－α． 設(shè)CF=x，則．在△ADF中，有 ∠A=30°，∠ADF=120°－α，， 則由正弦定理，得． 在Rt△ECF中，x=DF·sinα， ∴， 化簡得，， 當(dāng)，即， 即時，最小邊長為．

提示：

此題在題目中已比較明確地指明了解題思路，即應(yīng)尋求△DEF最小邊長的函數(shù)，并且自變量為α，再求以α為自變量的函數(shù)的最小值，這是求最值中的常用方法．