Question

11．在公差為d的等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁=10且5a₃•a₁=（2a₂+2）²．
（1）求d，a_n．
（2）若d＜0，求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．

Answer 1

分析 （1）由題意可得d的方程，解方程可得通項公式；
（2）易得數(shù)列的前10項為正數(shù)，第11項為0，從第12項開始為負數(shù)，當n≤11時，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=a₁+a₂+a₃+…+a_n；當n≥12時，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=a₁+a₂+a₃+…a₁₁-a₁₂-a_n=-（a₁+a₂+a₃+…+a_n）+2（a₁+a₂+a₃+…a₁₁），分別由等差數(shù)列的求和公式可得．

解答 解：（1）∵在公差為d的等差數(shù)列{a_n}中a₁=10且5a₃•a₁=（2a₂+2）²，
∴5（10+2d）•10=4（11+d）²，整理可得d²-3d-4=0，解得d=4或d=-1，
當d=4時，a_n=10+4（n-1）=4n+6；
當d=-1時，a_n=10-（n-1）=-n+11；
（2）由（1）可得d＜0時，a_n=-n+11，
∴數(shù)列的前10項為正數(shù)，第11項為0，從第12項開始為負數(shù)，
∴當n≤11時，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{（10-n+11）n}{2}$=-$\frac{1}{2}$n²+$\frac{21}{2}$n；
當n≥12時，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=a₁+a₂+a₃+…a₁₁-a₁₂-a_n
=-（a₁+a₂+a₃+…+a_n）+2（a₁+a₂+a₃+…a₁₁）
=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{21}{2}$n+2（-$\frac{1}{2}$×11²+$\frac{21}{2}$×11）
=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{21}{2}$n+110

點評 本題考查等差數(shù)列的求和公式和通項公式，涉及分類討論的思想，屬中檔題．