Question

已知拋物y=x²-2mx-（m²+2m+1）
（1）求證：不論m取何值，拋物線必與x軸交于兩點(diǎn)；
（2）若函數(shù)的定義域?yàn)閧x|-1≤x≤1}，求函數(shù)的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn),函數(shù)的值域

專題：計(jì)算題,證明題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由判別式化簡(jiǎn)配方，即可得證；
（2）求出對(duì)稱軸x=m，討論當(dāng)m≤-1時(shí)，當(dāng)m≥1時(shí)，當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，當(dāng)0≤m＜1，區(qū)間和對(duì)稱軸的關(guān)系，即可得到值域．

解答： （1）證明：由于y=x²-2mx-（m²+2m+1），
則判別式△=4m²+4（m²+2m+1）=4（2m²+2m+1）
=8（m+

1

2

）²+2＞0，
則不論m取何值，拋物線必與x軸交于兩點(diǎn)；
（2）解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|-1≤x≤1}，
對(duì)稱軸x=m，
當(dāng)m≤-1時(shí)，[-1，1]在對(duì)稱軸的右邊，為增區(qū)間，
則函數(shù)的值域?yàn)閇f（-1），f（1）]即有[-m²，-m²-4m]；
當(dāng)-1＜m＜1時(shí)，f（m）最小，且為-2m²-2m-1，
若m=0則f（-1）=f（1）=0，則值域?yàn)閇-1，0]；
若0＜m＜1，則f（-1）＞f（1），則值域?yàn)閇-2m²-2m-1，-m²]；
若-1＜m＜0時(shí)，則f（-1）＜f（1），則值域?yàn)閇-2m²-2m-1，-m²-4m]；
當(dāng)m≥1時(shí)，[-1，1]在對(duì)稱軸的左邊，為減區(qū)間，
則函數(shù)的值域?yàn)閇f（1），f（-1）]即有[-m²-4m，-m²]．
綜上，當(dāng)m≤-1時(shí)，值域?yàn)閇-m²，-m²-4m]；
當(dāng)0≤m＜1，值域?yàn)閇-2m²-2m-1，-m²]；
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，值域?yàn)閇-2m²-2m-1，-m²-4m]；
當(dāng)m≥1時(shí)值域?yàn)閇-m²-4m，-m²]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的值域，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，注意討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．