Question

如圖所示的正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁∶AB=2∶1,E、F分別為面A₁C₁和面BC₁的中心.求

（1）異面直線CE與AF所成的角；

（2）A₁F與平面BCC₁B₁所成的角；

（3）二面角B—A₁C₁—C的大小.

Answer 1

解：如圖，以D為原點，DA為Ox軸正方向，DC為Oy軸正方向，DD₁為Oz軸正方向建立空間直角坐標系.?

∵A₁A∶AB=2∶1,可設AB=2，由此得到相應各點的坐標分別為A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（1，1，4），F(xiàn)（1，2，2），A₁（2，0，4），B₁（2，2，4），∴=（1，-1，4），=（-1，2，2），=（-1，2，-2），=（-1，0，-2），=（0，0，-4），=（1，1，-4）.?

(1)設異面直線CE和AF所成的角為α,則 ?

cosα＝==,?

∴α=arccos,此即異面直線CE和AF所成的角.?

(2)∵A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，?

∴A₁F與平面BCC₁B₁，所成的角為∠A₁FB₁（設為β）.?

則cosβ=?

==.?

∴β=arccos.?

此即為A₁F與平面BCC₁B₁所成的角.?

(3)∵EB⊥A₁C₁，A₁A⊥A₁C₁，并設二面角B—A₁C₁—C的平面角為γ.?

則cosγ===,?

∴γ=arccos.?

此即為所求二面角B—A₁C₁—C的大小.