Question

【題目】已知函數(shù)，

求函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線方程．

若方程在內(nèi)有兩個不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍為自然對數(shù)的底數(shù)．

求證，且

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）詳見解析

【解析】

先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)好的幾何意義即可求出；

方程在內(nèi)有兩個不等實(shí)根，轉(zhuǎn)化為與有兩個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域，結(jié)合圖象，即可求出a的范圍；

由可得對恒成立，即對恒成立，分別令，3，，n，代入上式并相加可得．

解：，

，

，，

函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線方程為；

方程在內(nèi)有兩個不等實(shí)根，

與有兩個交點(diǎn)，

，，

令，解得，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)的遞增，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)的遞減，

，

，，

，

與有兩個交點(diǎn)，

證明：由知在上遞增，在上遞減，

則，

則對恒成立，

對恒成立，

令，3，，n，代入上式并相加可得

--

，，且．