Question

曲線y=2e

1

2

x在點（4，e²）處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為

9

2

e2

．

Answer 1

分析：由曲線的解析式，求出曲線對應的函數(shù)的導函數(shù)，把x=4代入導函數(shù)，得到切線方程的斜率，根據(jù)切點坐標和斜率寫出切線的方程，然后分別令x=0和y=0，即可求出直線與y軸和x軸的截距，利用三角形的面積公式即可求出切線與坐標軸所圍三角形的面積．

解答：解：由y=2e

1

2

x，得到y(tǒng)′=e

1

2

x，
則切線的斜率k=y′|_x=4=e²，
所以切線方程為：y-e²=e²（x-4），即y=e²x-3e²，
令x=0，得y=-3e²；令y=0，得x=3，
則切線與坐標軸所圍三角形的面積S=

1

2

×3e²×3=

9

2

e2．
故答案為：

9

2

e2．

點評：本小題主要考查直線的方程、三角形的面積、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．