Question

在數列{a_n}與{b_n}中,a₁=1,b₁=4,數列{a_n}的前n項和S_n滿足nS_n+1-(n+3)S_n=0,2a_n+1為b_n與b_n+1的等比中項,n∈N^*.

(1)求a₂,b₂的值;

(2)求數列{a_n}與{b_n}的通項公式;

(3)設T_n=(-1b₁+(-1b₂+…+(-1b_n,n∈N^*,證明|T_n|＜2n²,n≥3.

Answer 1

本小題主要考查等差數列的概念、通項公式及前n項和公式、等比數列的概念、等比中項、不等式證明、數學歸納法等基礎知識,考查運算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法.

(1)解:由題設有a₁+a₂-4a₁=0,a₁=1,解得a₂=3.

由題設又有4a₂²=b₂b₁,b₁=4,解得b₂=9.

(2)解法一:由題設nS_n+1-(n+3)S_n=0,a₁=1,b₁=4,及a₂=3,b₂=9,進一步可得a₃=6,b₃=16,a₄=10,b₄=25,猜想a_n=,b_n=(n+1)²,n∈N^*.

先證a_n=,n∈N^*.

當n=1時,a₁=,等式成立.

當n≥2時用數學歸納法證明如下:

(ⅰ)當n=2時,a₂=,等式成立.

(ⅱ)假設當n=k時等式成立,即a_k=,k≥2.

由題設,kS_k+1=(k+3)S_k,①

(k-1)S_k=(k+2)S_k-1.②

①的兩邊分別減去②的兩邊,整理得ka_k+1=(k+2)a_k,

從而a_k+1=.

這就是說,當n=k+1時等式也成立.

根據(ⅰ)和(ⅱ)可知,等式a_n=對任何的n≥2成立.

綜上所述,等式a_n=對任何的n∈N^*都成立.

再用數學歸納法證明b_n=(n+1)²,n∈N^*.

(ⅰ)當n=1時,b₁=(1+1)²,等式成立.

(ⅱ)假設當n=k時等式成立,即b_k=(k+1)², 那么b_k+1==［(k+1)+1］².

這就是說,當n=k+1時等式也成立.

根據(ⅰ)和(ⅱ)可知,等式b_n=(n+1)²對任何的n∈N^*都成立.

解法二:由題設nS_n+1=(n+3)S_n,①

(n-1)S_n=(n+2)S_n-1.②

①的兩邊分別減去②的兩邊,整理得na_n+1=(n+2)a_n,n≥2,

所以2a₃=4a₂,

3a₄=5a₃,

…

(n-1)a_n=(n+1)a_n-1,n≥3.

將以上各式左右兩端分別相乘,得(n-1)!a_n=a₂,

由(1)并化簡得a_n=a₂=,n≥3.

上式對n=1,2也成立.

由題設有b_n+1b_n=4a_n+1²,所以b_n+1b_n=(n+2)²(n+1)²,

即=1,n∈N^*.

令x_n=,則x_nx_n+1=1,即x_n+1=.

由x₁=1得x_n=1,n≥1.

所以=1,即b_n=(n+1)²,n≥1.

解法三:由題設有nS_n+1=(n+3)S_n,n∈N^*,

所以S₂=4S₁,

2S₃=5S₂,

…,

(n-1)S_n=(n+2)S_n-1,n≥2.

將以上各式左右兩端分別相乘,得1×2×…×(n-1)S_n=4×5×…×(n+2)S₁,

化簡得S_n=,n≥3.

由(1),上式對n=1,2也成立.

所以a_n=S_n-S_n-1=,n≥2.

上式對n=1也成立.

以下同解法二,可得b_n=(n+1)²,n≥1.

(3)證明:T_n=(-1b₁+(-1b₂+…+(-1b_n

=-2²-3²+…+(-1(n+1)².

當n=4k,k∈N^*時,

T_n=-2²-3²+4²+5²-…-(4k-2)²-(4k-1)²+(4k)²+(4k+1)².

注意到-(4k-2)²-(4k-1)²+(4k)²+(4k+1)²=32k-4,

故T_n=32×(1+2+…+k)-4k=32×-4k

=4k(4k+4)-4k=(4k)²+3×4k=n²+3n.

當n=4k-1,k∈N^*時,

T_n=(4k)²+3×4k-(4k+1)²=(n+1)²+3(n+1)-(n+2)²=n.

當n=4k-2,k∈N^*時,

T_n=(4k)²+3×4k-(4k+1)²-(4k)²=3(n+2)-(n+3)²=-n²-3n-3.

當n=4k-3,k∈N^*時,

T_n=3×4k-(4k+1)²+(4k-1)²=3(n+3)-(n+4)²+(n+2)²=-n-3.

所以,T_n=k∈N^*.

從而n≥3時,有

總之,當n≥3時有＜2,即|T_n|＜2n².