Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的長半軸長為半徑的圓與直線相切．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)，為動直線與橢圓的兩個交點(diǎn)，問：在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，試求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（I）；（II）存在定點(diǎn)，定值為.

【解析】

試題分析：（I）利用原點(diǎn)到直線的距離為列方程，聯(lián)立解方程組，求得，橢圓方程為；（II）先假設(shè)定點(diǎn)為.聯(lián)立直線點(diǎn)的方程和橢圓方程，斜率關(guān)于坐標(biāo)的韋達(dá)定理，將此代入題設(shè)為定值，由此求得，代回原式求得定值為.

試題解析：

（1）由得，即①

又以原點(diǎn)為圓心，橢圓的長軸長為半徑的圓為

且與直線相切，

所以代入①得，

所以．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）由得

設(shè)、，所以，

根據(jù)題意，假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，

使得為定值．

則

要使上式為定值，即與無關(guān)，，

得．

此時，，所以在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，且定值為．