Question

如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體OABC—O₁A₁B₁C₁中，E、F分別為棱AB和BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF。

（1）求證：A₁F⊥C₁E；

（2）當(dāng)O₁B⊥EF時(shí)，求點(diǎn)B到平面B₁EF的距離；

（3）在（2）的條件下，若M為棱BB₁上的一點(diǎn)，且O₁M⊥平面B₁EF。試定出點(diǎn)M的位置，并說(shuō)明理由。

Answer 1

解（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O—xyz

設(shè)，則

∴E點(diǎn)為（2，t，0）F（2－t，2，0）

又A₁（2，0，2），C₁（0，2，2）

∴

∴

∴即                 ……………………………5分

（2）由（1）得

又，∴，，∴E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)。

設(shè)點(diǎn)B到平面B₁EF的距離為h。

由得                       ………………………10分

（3）由M在BB₁上，可設(shè)點(diǎn)M為（2，2，m）

則，

由O₁M⊥B₁EF得，

∴，m=1

∴點(diǎn)M為BB₁的中點(diǎn)                          ……………………………15分