Question

14．求函數(shù)f（x）=3sin2x+8cos²x-4，x∈[0，$\frac{π}{2}$]的值域．

Answer 1

分析 由題意和輔助角公式可得f（x）=5sin（2x+φ），φ=arctan$\frac{4}{3}$，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]可得2x+φ∈[arctan$\frac{4}{3}$，π+arctan$\frac{4}{3}$]，由正弦函數(shù)值域可得．

解答 解：由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=3sin2x+8cos²x-4
=3sin2x+4（2cos²x-1）=3sin2x+4cos2x=5sin（2x+φ），
其中tanφ=$\frac{4}{3}$，故φ=arctan$\frac{4}{3}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x∈[0，π]，∴2x+φ∈[arctan$\frac{4}{3}$，π+arctan$\frac{4}{3}$]，
∴當(dāng)2x+φ=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）=5sin（2x+φ）取最大值5；
當(dāng)2x+φ=π+arctan$\frac{4}{3}$時(shí)，f（x）=5sin（2x+φ）取最小值5×（-$\frac{4}{5}$）=-4．
故函數(shù)的值域?yàn)閇-4，5]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)求最值，涉及輔助角公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系，屬中檔題．