Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且∠F₁PF₂=60°．

(1)求橢圓離心率的取值范圍；

(2)求證△PF₁F₂的面積與橢圓短軸長(zhǎng)有關(guān)．

Answer 1

思路分析：可以設(shè)橢圓方程為=1（a＞b＞0）,P(x₁,y₁)（y₁＞0）．

利用焦半徑公式|PF₁|=a+ex₁,|PF₂|=a-ex₁，在△PF₁F₂中運(yùn)用余弦定理，求x₁，再利用x₁∈［-a,a］，可以確定離心率e的取值范圍，將x₁代入橢圓方程中求y₁，便可求出△PF₁F₂的面積．

解：設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，∠PF₂F₁=α，∠PF₁F₂=β,則α+β=120°．

(1)在△PF₁F₂中，由正弦定理,得．

∴.

∵m+n=2a，∴

∴e=．

    當(dāng)且僅當(dāng)α=β時(shí)等號(hào)成立．故橢圓離心率的取值范圍是e∈［,1)．

(2)在△PF₁F₂中，由余弦定理,得

（2c）²=m²+n²-2mncos60°

=m²+n²-mn

=（m+n）²-3mn.

∵m+n=2a，∴4c²=4a²-3mn，即mn=（a²-c²）=．

∴mnsin60°=,即△PF₁F₂的面積與橢圓短軸長(zhǎng)有關(guān)．

方法歸納 橢圓上的一點(diǎn)P與兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成的三角形為橢圓的焦點(diǎn)三角形，涉及有關(guān)焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，通常運(yùn)用三角形的邊角關(guān)系定理．解題中通過(guò)變形，使之出現(xiàn)|PF₁|+|PF₂|的結(jié)構(gòu)，這樣就可以應(yīng)用橢圓的定義，從而可得到有關(guān)a,c的關(guān)系式，使問(wèn)題找到解決思路．