Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2（x-1）}$，給定數(shù)列{a_n}，其中a₁=a＞1，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊）．
（1）若{a_n}為常數(shù)列，求a的值；
（2）判斷a_n與2的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）設(shè)a_n=a代入a_n+1=f（a_n）（n∈N₊），列出方程后化簡求出a的值；
（2）對a分類討論：當a=2時由（1）即可判斷；當a≠2時，先求出a₂并利用作差法判斷出a₂與2的大小關(guān)系，再利用數(shù)學歸納法進行證明結(jié)論．

解答 解：（1）若{a_n}為常數(shù)列，則a_n=a，
由a_n+1=f（a_n），得a=f（a），
因為f（x）=$\frac{x2}{2（x-1）}$，所以a=$\frac{a2}{2（a-1）}$，
又a＞1，所以a=2（a-1），解得a=2；
（2）當a=2時，由（1）知a_n=2，
當a≠2時，因為a₁=a，a_n+1=f（a_n）=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2（{a}_{n}-1）}$，
所以a₂=$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{2（{a}_{1}-1）}$=$\frac{a2}{2（a-1）}$，
所以a₂-2=$\frac{a2}{2（a-1）}$-2=$\frac{{a}^{2}-4a+4}{2（a-1）}$=$\frac{（a-2）^{2}}{2（a-1）}$＞0，則a₂＞2，
當k≥3時，假設(shè)a_k＞2，即a_k-2＞0，
那么當n=k+1時，a_k+1-2=$\frac{{{a}_{k}}^{2}}{2（{a}_{k}-1）}$-2=$\frac{{{a}_{k}}^{2}-4{a}_{k}+4}{2（{a}_{k}-1）}$=$\frac{{（{a}_{k}-2）}^{2}}{2（{a}_{k}-1）}$＞0，
所以a_k+1-2＞0，則a_k+1＞2成立，
綜上可得，當a=2時，a_n=2；當a≠2、n≥2時，有a_n＞2．

點評 本題考查數(shù)列的遞推公式，數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，以及利用數(shù)學歸納法證明結(jié)論，屬于中檔題．