Question

在平面直角坐標系xOy中，△ABC的頂點B、C的坐標為B（-2，0），C（2，0），直線AB，AC的斜率乘積為-

1

4

，設頂點A的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設曲線E與y軸負半軸的交點為D，過點D作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，這兩條直線與曲線E的另一個交點分別為M，N．設l₁的斜率為k（k≠0），△DMN的面積為S，試求

S

|k|

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設頂點A的坐標為（x，y），由k_AB•k_AC=-

1

4

，能求出曲線E的方程．
（2）曲線E與y軸負半軸的交點為D（0，-1）．設l₁的方程為y=kx-1，由已知條件推導出△DMN的面積S=

32(1+k2)|k|

(1+4k2)(4+k2)

．從而得到

S

|k|

=

32(1+k2)

(1+4k2)(4+k2)

，由此進行分類討論，能求出

S

|k|

的取值范圍．

解答： 解：（1）設頂點A的坐標為（x，y），則k_AB=

y

x+2

，k_AC=

y

x-2

，…（2分）
∵k_AB•k_AC=-

1

4

，
∴

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

4

，
∴

x2

4

+y²=1．
∴曲線E的方程為

x2

4

+y²=1（x≠±2）．…（4分）
（2）曲線E與y軸負半軸的交點為D（0，-1）．
∵l₁的斜率存在，∴設l₁的方程為y=kx-1，
代入

x2

4

+y²=1，得M（

8k

1+4k2

，

4k2-1

1+4k2

），
從而DM=

( 8k 1+4k2 )2+( 4k2-1 1+4k2 +1)2

=

8|k| 1+k2

1+4k2

，…（6分）
用-

1

k

代k得DN=

8 1+k2

4+k2

．
∴△DMN的面積S=

1

2

•

8|k| 1+k2

1+4k2

•

8 1+k2

4+k2

=

32(1+k2)|k|

(1+4k2)(4+k2)

．                …（8分）
則

S

|k|

=

32(1+k2)

(1+4k2)(4+k2)

，
∵k≠0且k≠±

1

2

，k≠±2，令1+k²=t，
則t＞1，且t≠

5

4

，t≠5，
從而

S

|k|

=

32t

(4t-3)(t+3)

=

32t

4t2+9t-9

=

32

9+4t- 9 t

，
∵4t-

9

t

＞-5，且4t-

9

t

≠-

11

5

，4t-

9

t

≠

91

5

．
∴9+4t-

9

t

＞4，且9+4t-

9

t

≠

34

5

，9+4t-

9

t

≠

136

5

，
從而 

S

|k|

＜8，且

S

|k|

≠

80

17

，

S

|k|

≠

20

17

，
即 

S

|k|

∈（0，

20

17

）∪（

20

17

，

80

17

）∪（

80

17

，8）． …（10分）

點評：本題考查曲線方程的求法，考查比值的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意直線斜率、三角形面積、分類討論思想的合理運用．