Question

14．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）＞1且f（x）+f′（x）＞1，f（0）=5，其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則不等式ln[f（x）-1]＞ln4-x的解集為（0，+∞）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），研究g（x）的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解．

解答 解：不等式ln[f（x）-1]＞ln4-x，
即為ln[f（x）-1]+lne^x＞ln4，
即e^x（f（x）-1）＞4，
設(shè)g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），
則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴f（x）+f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，
∵e^xf（x）＞e^x+4，
∴g（x）＞4，
又∵g（0）=e⁰f（0）-e⁰=5-1=4，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0，
∴不等式的解集為（0，+∞）
故答案為：（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．