Question

已知直線（3m+1）x+（1-m）y-4=0所過定點的橫、縱坐標(biāo)分別是等差數(shù)列{a_n}的第1項與第2項，若b_n=

1

an•an+1

，則數(shù)列{b_n}的前10項和為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：3mx+x+y-my-4=0過定點（1，3），從而得到a_n=2n-1，b_n=

1

an•an+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂項求和法能求出數(shù)列{b_n}的前10項和．

解答： 解：3mx+x+y-my-4=0
x+y-4=m（y-3x）
則x+y-4=0且y-3x=0，
解得x=1，y=3
∵直線（3m+1）x+（1-m）y-4=0所過定點的橫、縱坐標(biāo)分別是等差數(shù)列{a_n}的第1項與第2項，
∴a₁=1，a₂=3，∴d=3-1=2，
∴a_n=2n-1，
∴b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．
∴S10=

10

21

．
故答案為：

10

21

．

點評：本題考查數(shù)列的前10項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運用．