Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x）（a＞0且a≠1）．
（1）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），判斷F（x）的奇偶性并證明；
（2）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的范圍；
（3）若a＞1且在x∈[0，1]時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求函數(shù)F（x）的定義域，即是使得函數(shù)f（x），g（x）都有意義的條件，利用函數(shù)奇偶函數(shù)的定義檢驗(yàn)F（-x）與F（x）的關(guān)系可判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）原方程有兩個(gè)不等實(shí)根即-x²+x+2=1-m-x有兩個(gè)不等實(shí)根，其中，從而進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為x²-2x-1-m=0在x∈（-1，2）上有兩個(gè)不等實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)h（x）=x²-2x-1-m，可得，從而可求實(shí)數(shù)m的范圍；
（3）問題等價(jià)于a＞1且x∈[0，1]時(shí) 恒成立，所以x∈[0，1]有恒成立，故可求實(shí)數(shù)m的范圍．
解答：解：（1）
其中
∴x∈（-1，1）
∵
∴F（x）為奇函數(shù)． 
（2）∵函數(shù)f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x）
∴
∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等實(shí)根
∴-x²+x+2=1-m-x有兩個(gè)不等實(shí)根，且
由可得
從而問題可轉(zhuǎn)化為x²-2x-1-m=0在x∈（-1，2）上有兩個(gè)不等實(shí)根．
記h（x）=x²-2x-1-m，對稱軸x=1，由
∴
∴-2＜m＜-1
（3）f（m-2x）=log_a（1-m+2x），
即a＞1且x∈[0，1]時(shí) 恒成立
∴x∈[0，1]有恒成立，
由①得m＜1
令
∴由②得2t²-t-1＞m在時(shí)恒成立
記q（t）=2t²-t-1，則q（t）_min＞m，
∵對稱軸為
∴q（t）_min=q（1）=0＞m
綜上m＜0
點(diǎn)評：本題綜合考查了對數(shù)函數(shù)的定義域的求解，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的判斷，對數(shù)不等式的解法，牽涉的知識比較多，但只要掌握基本知識、基本方法，問題就能迎刃而解．