Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．已知a₁=a（a＞3），a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（Ⅰ）設b_n=S_n-3ⁿ，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若（n∈N^*），證明對任意的n∈N^*，不等式恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意得S_n+1=2S_n+3ⁿ，由此可知得S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）．所以b_n=S_n-3ⁿ=（a-3）2^n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）由已知，先求c_n=3n-2，從而將問題轉(zhuǎn)化為，用數(shù)學歸納法證明．
解答：（Ⅰ）解：依題意，S_n+1-S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ，即S_n+1=2S_n+3ⁿ，由此得S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）．因此，所求通項公式為b_n=S_n-3ⁿ=（a-3）2^n-1，n∈N^*．…（5分）
（Ⅱ）證明：由已知，
則，所以．…（7分）
下面用數(shù)學歸納法證明不等式成立．
①當n=1時，左邊=2，右邊=，因為，所以不等式成立．…（8分）
②假設當n=k時不等式成立，即成立．
則當n=k+1時，左邊
===．…（11分）
要證成立，只需證成立，
由于（3k+1）²＞0，只需證（3k+2）³＞（3k+4）（3k+1）²成立，只需證27k³+54k²+36k+8＞27k³+54k²+27k+4成立，
只需證9k+4＞0成立，由于k∈N*，所以9k+4＞0成立．即=成立．
所以當n=k+1時，不等式也成立．
由①，②可得不等式恒成立．…（14分）
點評：本題考查數(shù)列的綜合運用，解題時要仔細審題，注意挖掘題設中的隱含條件．