Question

已知函數(shù)f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1（m＜0）．
（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象上的任意一點(diǎn)切線的斜率恒大于3m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f'（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6（1）
由題意得，所以m=-4．（6）
（2）f'（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6＞3m在區(qū)間[-1，1]恒成立，
即3mx²-6（m+1）x+6＞0在區(qū)間[-1，1]恒成立．（10）
設(shè)F（x）=3mx²-6（m+1）x+6＞0，則有，解得．（14）
分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，可知x=是函數(shù)的極值，從而f'（）=0，解之即可求出m的值；
（2）本小問(wèn)可轉(zhuǎn)化成f'（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6＞3m在區(qū)間[-1，1]恒成立，即3mx²-6（m+1）x+6＞0在區(qū)間[-1，1]恒成立，將x=-1和x=1代入使之成立，即可求出m的范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查計(jì)算能力和分析問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．