Question

8．若冪函數(shù)y=x^k經(jīng)過點(diǎn)$（{\frac{1}{3}，\frac{1}{9}}）$，則函數(shù)f（x）=cos2x+ksinx的最大值與最小值的和為-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由條件求得k的值，化簡函數(shù)的解析式為f（x）=-2${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值與最小值，可得最大值與最小值的和．

解答 解：由于冪函數(shù)y=x^k經(jīng)過點(diǎn)$（{\frac{1}{3}，\frac{1}{9}}）$，則${（\frac{1}{3}）}^{k}$=$\frac{1}{9}$，∴k=2．
函數(shù)f（x）=cos2x+2sinx=-2sin²x+2sinx+1=-2${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$，
故當(dāng)sinx=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值為$\frac{3}{2}$；當(dāng)sinx=-1時(shí)，f（x）取得最小值為-3，
故f（x）的最大值與最小值的和為$\frac{3}{2}$-3=-$\frac{3}{2}$，
故答案為：$-\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二倍角的余弦公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．