Question

5．已知圓C₁：x²+y²=r²（r＞0）的一條直徑是橢圓C₂：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸，過(guò)橢圓C₂上一點(diǎn)D（1，$\frac{3}{2}$）的動(dòng)直線l與圓C₁相交于A，B，弦AB長(zhǎng)的最小值是$\sqrt{3}$，求圓C₁和橢圓C₂的方程．

Answer 1

分析 由題意可得a=r，點(diǎn)D在圓內(nèi)，當(dāng)AB⊥C₁D時(shí)，直線AB被圓截得的弦長(zhǎng)最短，由弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可得到r=2，再將D的坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求得b，進(jìn)而得到圓和橢圓的方程．

解答 解：由題意可得a=r，點(diǎn)D在圓內(nèi)，
當(dāng)AB⊥C₁D時(shí)，直線AB被圓截得的弦長(zhǎng)最短，
且為2$\sqrt{{r}^{2}-{C}_{1}{D}^{2}}$=2$\sqrt{{r}^{2}-（1+\frac{9}{4}）}$=$\sqrt{3}$，
解得r=2，即a=2，
點(diǎn)D代入橢圓方程，有$\frac{1}{4}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，
解得b=$\sqrt{3}$，
則有圓C₁的方程為x²+y²=4，橢圓C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓、橢圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查直線被圓、橢圓截得弦長(zhǎng)的問(wèn)題，運(yùn)用圓的垂徑定理和弦長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．