Question

已知函數(shù)f(x)=,x∈［1,+∞).

(1)當(dāng)a=時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值;

(2)若對(duì)任意x∈［1,+∞),f(x)＞0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

解：(1)當(dāng)a=時(shí),f(x)=x++2,設(shè)1≤x₁＜x₂,

則f(x₂)-f(x₁)=x₂+-(x₁+)=.

因?yàn)?≤x₁＜x₂,所以x₂-x₁＞0,2x₁x₂-1＞0,2x₁x₂＞0f(x₂)-f(x₁)＞0,

即f(x)在［1,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)_min=f(1)=1++2=.

(2)x∈［1,+∞),f(x)＞0恒成立x²+2x+a＞0恒成立,即a＞-x²-2x恒成立,又y=-x²-2x=

-(x+1)²+1≤-3,所以a＞-3.