Question

(本小題滿分14分)

已知函數(shù)（…是自然對數(shù)的底數(shù)）的最小值為．

（Ⅰ）求實數(shù)的值；

（Ⅱ）已知且，試解關(guān)于的不等式 ；

（Ⅲ）已知且.若存在實數(shù)，使得對任意的，都有，試求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)構(gòu)造函數(shù)運用導(dǎo)數(shù)求解最值得到不等式的證明。

(3) 滿足條件的最大整數(shù)的值為3．

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）因為，所以，故，

因為函數(shù)的最小值為，所以．                ……………… 3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，.

當(dāng)時，，……… 5分

故不等式可化為：

，

即，      ……………… 6分

得，

所以，當(dāng)時，不等式的解為；

當(dāng)時，不等式的解為．   …………… 8分

（Ⅲ）∵當(dāng)且時，，

∴.

∴原命題等價轉(zhuǎn)化為:存在實數(shù)，使得不等式對任意恒成立.    …………… 10分

令.

∵，∴函數(shù)在為減函數(shù). …………… 11分

又∵，∴.   …………… 12分

∴要使得對，值恒存在，只須．………… 13分

∵，

且函數(shù)在為減函數(shù)，

∴滿足條件的最大整數(shù)的值為3．…… 14分

考點：導(dǎo)數(shù)，函數(shù)。

點評：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，屬于中檔題。