Question

定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=若方程f²(x)+bf(x)+c=0有且只有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x₁、x₂、x₃，則x₁+x₂+x₃=________________.

Answer 1

3 

解析：本題考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想以及分析問題解決問題的能力，在方法能力方面要求較高.

作出函數(shù)f(x)的圖像，如圖：方程f²(x)+bf(x)+c=0是關(guān)于f(x)的二次方程，設(shè)其兩根為f(x₁)，f(x₂)即f²(x)+bf(x)+c=[f(x)-f(x₁)][f(x)-f(x₂)]，當(dāng)f(x₁)，f(x₂)≠1時(shí)，f(x)-f(x₁)=0以及f(x)-f(x₁)=0都有2個(gè)實(shí)根，故不可能出現(xiàn)3個(gè)實(shí)根，當(dāng)原方程有3個(gè)實(shí)根時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)f(x₁)=f(x₂)=1，即f²(x)+bf(x)+c=[f(x)-1]²=0，此時(shí)x₁+x₂+x₃=3x₂=3.