Question

3．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₃=5，S₈=64．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：$\frac{1}{{S}_{n-1}}+\frac{1}{{S}_{n+1}}$＞$\frac{2}{{S}_{n}}$（n≥2，n∈N）

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，通過(guò)a₃=5，S₈=64可得首項(xiàng)和公差，計(jì)算即可；
（2）通過(guò)（1）可知S_n=n²，利用不等式的性質(zhì)化簡(jiǎn)可得原命題成立，只需3n²＞1在n≥1時(shí)恒成立．

解答 （1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
根據(jù)題意，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}={a}_{1}+2d=5}\\{{S}_{8}=8{a}_{1}+28d=64}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=2n-1；
（2）證明：由（1）可知：S_n=n²，
要證：$\frac{1}{{S}_{n-1}}+\frac{1}{{S}_{n+1}}$＞$\frac{2}{{S}_{n}}$（n≥2，n∈N）恒成立，
只需證：$\frac{1}{（n-1）^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＞$\frac{2}{{n}^{2}}$，
只需證：[（n+1）²+（n-1）²]n²＞2（n²-1）²，
只需證：（n²+1）n²＞（n²-1）²，
只需證：3n²＞1，
而3n²＞1在n≥1時(shí)恒成立，且以上每步均可逆，
從而：$\frac{1}{{S}_{n-1}}+\frac{1}{{S}_{n+1}}$＞$\frac{2}{{S}_{n}}$（n≥2，n∈N）恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的簡(jiǎn)單性質(zhì)，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．