Question

4．為了滿足社區(qū)居民健身活動，某社區(qū)準備在一塊大約400m×400m的接近正方形荒地上建一個健身活動廣場，首先要建設如圖所示的一個總面積為4000m²的矩形場地，其中陰影部分為通道，通道寬度均為2米，中間的三個矩形區(qū)域將鋪設塑膠地面作為健身運動場地（其中兩個小場地形狀相同），怎樣設計矩形場地的長和寬，使塑膠運動場地占地面積最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 設矩形場地的長為xm，寬為ym，塑膠運動場地占地面積設為Sm²，總面積為xy=4000，且2a+6=x，a=$\frac{x-6}{2}$，y=$\frac{4000}{x}$，從而運動場占地面積為S=（y-4）a+（y-6）a=（2y-10）a=（x-6）（$\frac{4000}{x}$-5），由a＞0，可得x＞6，$\frac{4000}{x}$-5＞0，可得x＜800．其定義域是（6，800）．則S=4030-（5x+$\frac{24000}{x}$），由基本不等式可得函數的最大值，以及對應的x，y的值．

解答 解：設矩形場地的長為xm，寬為ym，塑膠運動場地占地面積設為Sm²，
即有xy=4000，y=$\frac{4000}{x}$，
S=（y-4）a+（y-6）a=（2y-10）a，
由2a+6=x，可得a=$\frac{x-6}{2}$，S=（$\frac{8000}{x}$-10）•$\frac{x-6}{2}$=（x-6）（$\frac{4000}{x}$-5），
由a＞0，可得x＞6，$\frac{4000}{x}$-5＞0，可得x＜800．
其定義域是（6，800）．
則S=4030-（5x+$\frac{24000}{x}$）≤4030-2$\sqrt{5x•\frac{24000}{x}}$=4030-400$\sqrt{3}$，
當且僅當5x=$\frac{24000}{x}$，即x=40$\sqrt{3}$∈（6，800）時，上述不等式等號成立，
此時x=40$\sqrt{3}$，y=$\frac{100\sqrt{3}}{3}$，S_max=4030-400$\sqrt{3}$．
答：設計x=40$\sqrt{3}$m，y=$\frac{100\sqrt{3}}{3}$m時，運動場地面積最大，最大值為4030-400$\sqrt{3}$平方米

點評 本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查應用基本不等式求函數最值，構建函數關系式是關鍵，屬于中檔題．