Question

20．曲線y=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$的切線斜率最大時切線方程是（　　）

• A． x-4y-2=0
• B． x+4y+2=0
• C． x-4y+2=0
• D． x+4y-2=0

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，運用基本不等式求得最大值，及切點，再由斜截式方程，即可得到切線方程．

解答 解：y=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$
=$\frac{1}{{e}^{x}+{e}^{-x}+2}$≤$\frac{1}{2\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}+2}$=$\frac{1}{4}$．
當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，取得最大值$\frac{1}{4}$，
即有切線斜率最大值為$\frac{1}{4}$，切點為（0，$\frac{1}{2}$），
則切線的方程為y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$，
即為x-4y+2=0．
故選：C．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，同時考查基本不等式的運用：求最值，正確求導(dǎo)和運用斜截式方程是解題的關(guān)鍵．