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證明：不等式ln（1+x）＞x－x2（x＞0）.

證明：令f（x）=ln（1+x）－x+x2，則f′（x）=.

當(dāng)x>0時(shí)，f′（x）>0，

因此f（x）在（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù).

又因?yàn)?I>f（0）=0，

于是當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>0.

∴當(dāng)x>0時(shí)，ln（1+x）>x－x2.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）當(dāng)b＞
1
2
時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅲ）證明對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln(
1
n
+1)＞
1
n2
-
1
n3
都成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1=1且an+1=（1+
1
n2+n
）an+
1
2n
（n≥1）．
（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：an≥2（n≥2）；
（Ⅱ）已知不等式ln（1+x）＜x對(duì)x＞0成立，證明：an＜e2（n≥1），其中無理數(shù)e=2.71828…．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+aln（x+1）+b（a，b∈R）在點(diǎn)（0，f（0））的切線方程為y=-x．
（1）求a，b的值；
（2）當(dāng)x∈[-
1
2
，1]時(shí)，f（x）的圖象與直線y=-x+m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）證明對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln(
1
n
+1)＞
1
n2
-
1
n3
都成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=blnx-（x-1）2，其中b為常數(shù)．
（Ⅰ）若b=4，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（II）若函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)，求b的取值范圍及f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅲ） 證明：對(duì)任意不小于3的正整數(shù)n，不等式ln(n+1)-lnn＞
1n2
都成立．

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同步練習(xí)冊(cè)答案