Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+a．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）在[0，3]上的值域；
（2）是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f（x）=x²-2ax+a的定義域為[-1，1]，值域為[-2，2]？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，f（x）=（x-1）²，根據(jù)定義域為[0，3]，f（x）在[0，1）上單調(diào)減，在（1，3]上單調(diào)增，求得函數(shù)的值域．
（2）由條件可得二次函數(shù)的對稱軸為x=a，分當a≥1時、當0≤a＜1時、當-1≤a＜0時三種情況，根據(jù)定義域為[-1，1]，值域為[-2，2]，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得a的值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-2ax+a，a=1，∴f（x）=（x-1）²，
∵x∈[0，3]，∴f（x）在[0，1）上單調(diào)減，在（1，3]上單調(diào)增，
∴最小值為f（1）=0，而 f（0）=1 f（3）=4，
∴函數(shù)的值域為[0，4]．
（2）當a≥1時，由于f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，可得

f(-1)=2 f(1)=-2

，故有

a= 1 3 a=3

（舍去）．
當0≤a＜1時，由

f(1)=2 f(a)=-2

，即

1+2a+a=2 a-a2=-2

 （舍去）．
當-1≤a＜0時，由

f(1)=2 f(a)=-2

，即

1-2a+a=2 a-a2=-2

，求得a=-1．
當a＜-1時，由

f(-1)=-2 f(1)=2

，求得

1+2a+a=-2 1-2a+a=2

，解得a=-1（舍去）．
綜上所述：a=-1．

點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，函數(shù)的定義域和單調(diào)性的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．