Question

設銳角△ABC中，a=2bsinA，則cosA+sinC取值范圍（　�。�

• A、(

  1

  2

  ，1)
• B、(

  3

  2

  ，

  3

  )
• C、(

  3

  2

  ，

  3

  2

  )
• D、(

  3

  2

  ，1)

Answer 1

分析：已知等式利用正弦定理化簡，根據sinA不為0求出sinB的值，確定出B的度數，進而表示出A+C的度數，用A表示出C，代入所求式子利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由A的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的值域確定出范圍即可．

解答：解：已知等式a=2bsinA利用正弦定理化簡得：sinA=2sinBsinA，
∵sinA≠0，∴sinB=

1

2

，
∵B為銳角，∴B=30°，即A+C=150°，
∴cosA+sinC=cosA+sin（150°-A）=cosA+

1

2

cosA+

3

2

sinA=

3

2

cosA+

3

2

sinA=

3

（

3

2

cosA+

1

2

sinA）=

3

sin（A+60°），
∵60°＜A＜90°，∴120°＜A+60°＜150°，
∴

1

2

＜sin（A+60°）＜

3

2

，即

3

2

＜

3

sin（A+60°）＜

3

2

，
則cosA+sinC的取值范圍是（

3

2

，

3

2

）．
故選C

點評：此題考查了正弦定理，以及兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．