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已知向量
a
=(
2
sin
x
2
，cos
x
2
-sin
x
2
)，
b
=(
2
cos
x
2
，
3
cos
x
2
+
3
sin
x
2
)，x∈[0，
π
2
]．
（1）若f(x)=
a
•
b
，當(dāng)函數(shù)f（x）取得最大值時(shí)，求自變量x的值；
（2）在（1）的條件下，設(shè)g（x）=f（x）+|
a
|2，求函數(shù)g（x）的值域．
分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式，及輔助角公式化簡函數(shù)，結(jié)合x∈[0，
π
2
]，即可求得函數(shù)的最大值；
（2）先化簡函數(shù)，再結(jié)合角的范圍，即可求得函數(shù)的值域．
解答：解：（1）∵
a
=(
2
sin
x
2
，cos
x
2
-sin
x
2
)，
b
=(
2
cos
x
2
，
3
cos
x
2
+
3
sin
x
2
)
∴f(x)=
a
•
b
=sinx+
3
cosx=2sin（x+
π
3
）
∵x∈[0，
π
2
]，
∴x+
π
3
∈[
π
3
，
5π
6
]
∴x+
π
3
=
π
2
，即x=
π
6
時(shí)，函數(shù)取得最大值2；
（2）g（x）=f（x）+|
a
|2=sinx+
3
cosx+(
2
sin
x
2
)2+(cos
x
2
-sin
x
2
)2=（
3
+1）cosx+2
∵x∈[0，
π
2
]，∴cosx∈[0，1]，
∴g（x）∈[2，
3
+3]．
點(diǎn)評：本題考查向量的數(shù)量積，考查三角函數(shù)的化簡，正確化簡函數(shù)是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(
2
sinx
，
-1
sinx
)，
b
=(1，cos2x)且x∈(0，
π
2
]，
（Ⅰ）若
a
與
b
是兩個共線向量，求x的值；
（Ⅱ）若f(x)=
a
•
b
，求函數(shù)f（x）的最小值及相應(yīng)的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，2cosx)，定義函數(shù)f(x)=
a
•
b
-1
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅲ）在答卷的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)g(x)=f(x)，x∈[-
π
12
，
11π
12
]的簡圖，并由圖象寫出g（x）的對稱軸和對稱中心．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2005•東城區(qū)一模）已知向量
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，2cosx)，定義函數(shù)f(x)=
a
•
b
-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）畫出函數(shù)g(x)=f(x)，x∈[-
7π
12
，
5π
12
]的圖象，由圖象研究并寫出g（x）的對稱軸和對稱中心．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(cosx，2cosx)
（1）求f(x)=
a
•
b
，并求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）若
c
=(2，1)，且
a
-
b
與
c
共線，x為第二象限角，求(
a
+
b
)•
c
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(2sinx，sinx-cosx)，
b
=(cosx，
3
(cosx+sinx))，函數(shù)f(x)=
a
•
b
+1
（1）當(dāng)x∈(
π
4
，
π
2
)時(shí)，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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同步練習(xí)冊答案